Waar vind je tegenwoordig in de bergen informatie nog een korte, duidelijke en begrijpelijke uitgelegd van zo’n ingewikkeld vak als wiskunde? Het is een feit dat wiskunde lang niet zo moeilijk is als de docent doet vermoeden, als je gewoon een paar basis regeltjes kent is het eigenlijk best goed te doen. In dit artikel heb ik deze regeltjes beschreven voor een van de moeilijkste onderdelen, functies en grafieken.
woordjes
Eerste even wat algemene termen
domein, een stukje van een grafiek bijvoorbeeld;
[5,8] (5 en 8 en alles ertussen)
(alles groter dan 5 en kleiner dan 8 dus 5 en 8 zelf niet)
bereik, het verschil tussen de hoogste en laagste waarden (op de Y-as) van een stukje grafiek
extreme waarden, de grootst en kleinst mogelijke waarden (op de Y-as)van de gehele grafiek
Veelterm, een grafiek in vorm van x1 + x2 + x3 enz.
asymptotisch gedrag, de grafiek “kruipt” naar een lijn (meestal de x of y-as) maar raakt deze niet
exponentiële functies, zijn functies die steeds sneller stijgen, (y = a x), hierbij is a het grondtal en x de exponent;
a^0 = 1
a^1 = a
1/(a^x) = a^( – x)
a^p ·a^q = a^(p +q)
a^ p / a^q = a^(p –q)
(a^p)^q = a^pq
logaritmische functies, zijn de tegenhangers (inverse) van exponentiële functies;
p Log (a) = x p x = a
Log (a x) = x Log (a)
p Log (a) = 10 Log (a) / 10 Log (p)
Log (ab) = Log (a) + Log (b)
Log (a/b) = Log (a) – Log (b)
lineaire vergelijkingen
Een voorbeeld hoe twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden kan worden opgelost;
f(x) = x + 3
g(x) = 3x + 5
g(x) = f(x) => x + 3 = 3x + 5 => 2x = -2 => x = -1
(y = -1 + 3 en/of y = 3· -1 + 5) dus y = 2
een andere manier;
f(x) ombuigen => y = x + 3 => x = y – 3 => invullen bij g(x) => y = 3·(y – 3) + 5 => 3y -9 + 5 = y => 2y = 4 => y = 2
(x = y – 3 en/of x = 3y + 5) dus x = -1
transformeren
In de volgende voorbeelden leg ik uit wat er gebeurt als je een getal (c in dit geval) optelt of vermenigvuldigd met een formule f(x) zoals is aangegeven. In het voorbeeld gebruik ik telkens de functie f(x) = x2 en c = 3.
y = f(x) + c (bijvoorbeeld x2 + 3) de grafiek schuift verticaal
y = f(x + c) (bijvoorbeeld x2 + 6x +9) de grafiek schuift naar links als c > 0 is en naar rechts als c < 0
y = c · f(x) (bijvoorbeeld 3×2 ) de grafiek wordt uitgerekt als c > 1 en ingedrukt als c < 1
(y-as). NB als c < 0 dan klapt de grafiek om (wordt een berg- in plaats van een dalparabool)
y = f(c · x) (bijvoorbeeld 9×2) de grafiek wordt smaller als c > 1 en breder als c < 1 (x-as)
differentiëren
Met differentiëren bereken je eigenlijk de richtingscoëfficiënten (van raaklijnen) door ieder punt in een grafiek.
raaklijn, geeft de richting van het punt aan waar deze doorheen loopt
differentiaalquotiënt, de raaklijn van een aantal punten (een stukje grafiek),
kettingregel, f(g(x)) => differentiëren => f'(g(x)) · g'(x)
voorbeeld 1
(x2 + 3x)5 => differentiëren => 5 · (x2 + 3x)4 · (2x + 3) = (10x + 15)(x2 + 3x)4
voorbeeld 2
2/ (3×4) = 2 · (3×4)-0,5 => differentiëren => 2 · – 0,5 · (3×4)-1,5 · 12×3 =
– 12×3 /(3×4)1,5
productregel, f(x) · g(x) => differentiëren => f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x),
voorbeeld 1
(x + 3)^2 * (5x + 6)^3 => differentiëren => 2(x+3) * (5x + 6)^3 + (x + 3)^2 * 3(5x + 6)^2 + 5 =
2(x+3)(125x^3 + 450x^2 + 540x + 216) + (x^2 + 6x + 9) 3(25x^2 + 60x + 36) + 5 =
2(125x^4 + 450x^3 + 540x^2 + 216x + 375x^3 + 1350x^2 + 1620x + 648) + 3(25×4 + 60x^3 + 36x^2 + 150x^3 + 360x^2 + 216x + 225x^2 + 540x + 324) + 5 =
250x^4 + 900x^3 + 1080x^2 + 432x + 750x^3 + 2700x^2 + 3240x + 1296 + 75×4 + 180x^3 + 108x^2 + 450x^3 + 1080x^2 + 648x + 675x^2 + 3150x + 972 + 5 =
325x^4 + 2280x^3 + 5643x^2 + 7038x + 2273
voorbeeld 2
5x / (x-3) => differentiëren => 5(x – 3)^-1 + – 5x(x – 3)^-2 =
5 / (x – 3) – 5x / (x^2 – 6x + 36)
sin en cos,
Het afleiden van sinus en cosinus gebeurt als volgt
sin(x) => differentiëren => cos(x)
cos(x) => differentiëren => – sin(x) (let op, het wordt min sinus!)
