Fractals zijn meetkundige figuren en horen tot de tak ‘chaos’ in de wiskunde. Fractals zijn te onderscheiden van andere wiskundige figuren, doordat bij fractals een bepaalde bewerking telkens herhaald wordt. Het beginfiguur heet 0e generatie. Wanneer de bewerking één keer uitgevoerd wordt, ontstaat de 1e generatie. Wanneer dezelfde bewerking op de 1e generatie uitgevoerd wordt, ontstaat de 2e generatie. Zo kan dit doorgaan tot de ke generatie, waarbij k . De officiële benaming van de fractal kwam in 1975. Benoit Mandelbrot gaf de naam fractal aan een verzameling figuren die op een bepaalde schaal een herhaling vertoonde. De figuren werden bekend na zijn boek ‘The Fractal Geometry of Nature’.
Ze werden eerst bedoeld als aanvulling op de klassieke meetkunde. In het begin van de 21e eeuw werden fractals heel populair. Men dacht overal fractals in te zien. Dat bleek onterecht. Tegenwoordig worden fractals vooral gebruikt in computerprogramma’s en voor onderzoek in de wetenschap.
Er zijn veel toepassingen voor fractals te vinden in allerlei takken zoals de techniek en de natuur. Één van de meest bekende toepassingen in de techniek is de fractale beeldcodering. Door deze beeldcodering kunnen afbeeldingen in een zeer realistische vorm op een scherm geprojecteerd worden. Deze toepassing komen we tegen in onder andere TV’s en ook in virtuele werelden zoals in een vluchtsimulator of in films.
In de natuur komen een heleboel ingewikkelde structuren voor die we als fractals kunnen beschrijven. De vormen van verschillende soorten bladeren zijn te beschrijven met fractals. Ook de structuur van boomtakken is mogelijk te beschrijven met fractals. IJsbloemen en -kristallen hebben ook een fractalvorm. Ze zijn daarom ook goed te simuleren met eenvoudige computerprogramma’s. Andere voorbeelden in de natuur zijn: schelpdieren, bliksem en menselijke longen.
Industrieel zijn fractals tegenwoordig toegepast in diverse takken. Een paar takken zijn bijvoorbeeld de productie van katalysators en ook op het gebied van het fabriceren van nieuwe stoffen in chemische reactoren en in stofmengers.
Ook industrieel ontwerp is tegenwoordig een tak waar de fractal om de hoek komt kijken. Om nieuwe vormen en structuren te maken voor het gebruik in de industrie worden fractalfuncties gebruikt en kijkt men of dit rendabel is. Er wordt net zo lang gekeken tot er iets uitkomt wat wetenschappers en ontwerpers zien als rendabel en dus ook winstgevend.
De wetenschappelijke kennis over fractals is erg groot. Er worden voornamelijk nieuwe ontdekkingen gedaan in de toepassingen en dimensies van deze meetkundige figuren. In Nederland zijn enkele wetenschappers die zich in de fractalfiguren verdiept hebben, maar er vind hier geen grootschalig onderzoek plaats. Nieuwe ontdekkingen komen dan ook bijna altijd uit het buitenland.
Wat zijn fractals?
Fractals zijn meetkundige figuren die op elke schaal onregelmatig zijn. Fractals horen daarom bij het onderwerp ‘chaos’ in de wiskunde. Fractals hebben een oneindige hoeveelheid details en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Fractals zijn te onderscheiden van andere wiskundige figuren, doordat bij fractals een bepaalde bewerking telkens herhaald wordt. Het beginfiguur heet 0e generatie. Wanneer de bewerking één keer uitgevoerd wordt, ontstaat de 1e generatie. Wanneer dezelfde bewerking op de 1e generatie uitgevoerd wordt, ontstaat de 2e generatie. Zo kan dit doorgaan tot de ke generatie, waarbij k .
De fractale dimensie
Een fractal is ook te herkennen aan zijn dimensie. De dimensie van een fractal is geen geheel getal, dit is wel zo bij andere wiskundige figuren. Een voorbeeld: De dimensie van een punt is 0, en van een lijn 1. Een bepaalde fractal bestaat uit een oneindige verzameling punten langs een lijn. Deze fractal heeft dus een dimensie tussen 0 en 1 in.
Er zijn een aantal standaard regels voor maat en dimensie:
1. Als de dimensie in de maat groter is dan de dimensie van F wordt de maat van F nul.
2. Als de dimensie in de maat kleiner is dan de dimensie van F wordt de maat van F oneindig, ofwel: de maat bestaat niet.
3. Als een begrensde verzameling F n-dimensionale maat μ heeft (waarbij 0 < μ < ∞), dan is de dimensie van F gelijk aan n.
Geschiedenis van de wiskunde in het algemeen
Na 1800 werd de wiskunde gezien als een vakgebied dat logisch en analytisch was. Dat betekende dat men dacht dat alles beredeneerd en uitgelegd kon worden en de wiskunde als het ware ‘compleet was’, er hoefde niets meer ontdekt te worden. Maar tegen 1900 werden er vele nieuwe ontdekkingen gedaan die nergens geplaatst konden worden. Rond deze tijd werd het perspectief op wiskunde anders. Het verplaatste zich van analytisch naar meetkundig. In de analyse werd met problemen gewerkt die opgelost konden worden door het toepassen van regels en formules. In de meetkunde ging men met voorbeelden aan de gang die nog bewezen moesten worden. Meestal ging dit ook over onderwerpen die direct toegepast konden worden in het dagelijks leven.
De ontdekking van fractals
De wiskundige figuren die we nu fractals noemen, zijn voor het eerst ontdekt door Benoit Mandelbrot (geboren 1924). Objecten die met fractals te maken hadden werden rond de wisseling van 19e naar 20e eeuw ook door verschillende andere wiskundigen ontdekt. Voorbeelden zijn Helge von Koch en Karl Weierstrass. Helaas beschreven deze wiskundigen de figuren niet verder, waardoor Mendelbrot als de officiële ontdekker gezien wordt. Mandelbrot deed meer dan 20 jaar onderzoek naar fractals. In 1975 publiceerde hij het boek ‘The Fractal Geometry of Nature’. Het woord geometry uit deze titel geeft aan dat fractals meetkundige figuren zijn. Dit is ook niet zo raar, want zoals net verteld, waren de onderzoekers vooral op meetkundig gebied actief. Hier werden dan ook de meeste ontdekkingen gedaan. Het woord fractal is door Mandelbrot bedacht. Dit woord was afgeleid van het Latijnse woord fractus wat gebroken betekent.
Chaos en fractals
Isaac Newton (1642-1727) is de ontdekker van differentiaal- en integraalrekeningen. Hij heeft dus de afgeleide en de primitieve van een functie kunnen beschrijven aan de hand van nieuwe wiskundige regels. Hier gaan we verder niet op in, maar het is belangrijk om te weten voor het ontstaan van het begrip chaos. Er waren namelijk enkele formules die niet geplaatst konden worden in de theorie van Newton. Begin 1870 ontwikkelde Weierstrass en functie waarvan geen afgeleide en geen primitieve te vinden was. Het limiet van de functie was wel oneindig. Weierstrass kon deze functie in plaatsen onder een al bestaand wiskundig onderwerp. Hij introduceerde daarom het begrip wanorde (of: chaos). De functie die hij gevonden had, werd onder dit begrip ingedeeld.
Onder het begrip chaos werden alle wiskundige onderwerpen geplaatst die niet (leken te) kloppen volgens de wiskundige regels of waarvoor men geen wiskundige regels kon ontdekken. Zo werden ook fractals een onderdeel van chaos. Zoals we bij het beantwoorden van de eerste deelvraag ontdekte, klopt dit niet. Bij fractals zijn wel degelijk regeltjes te ontdekken. Hoe sterk de figuur ook uitvergroot wordt, de vorm blijft hetzelfde. In een fractal zijn dus herhalingen te ontdekken. Daarom werden fractals vaak vergeleken met DNA. DNA lijkt een ‘willekeurige’ stapeling te zijn van allerlei combinaties van eiwitten en aminozuren, maar in deze stapeling zijn structuren te vinden. Een bepaald stukje van het DNA blijkt zich telkens te herhalen. De stapeling is dus opgebouwd uit steeds dezelfde patronen. Het onderwerp fractals wordt nog steeds onder chaos gerekend, ook nu we weten dat er wel wiskundige regels in te ontdekken vallen.
Wat gebeurde er na de ontdekking van fractals?
Vele jaren werden fractals als niet toepasbare figuren gezien. Er werd zelfs gedacht dat ze geen enkel verband hadden met de wiskunde. Nadat Mandelbrot zijn bekende boek uitgebracht had, gingen meer wiskundigen zich verdiepen in het onderwerp fractals. Voorbeelden van hen zijn de Poolse wiskundige Sierpinski en de Franse wiskundige Gaston Julia. Zij ontwierpen verschillende fractals.
Rond 1980 en 1990 werd de wiskunde van de fractals erg populair.Men dacht dat fractals overal waren, in de natuur, in de techniek, in de kunst, in gebruiksvoorwerpen, enz. George A. Cowan wou dit verder gaan onderzoeken. Hij had een brede visie, waardoor het moeilijk was om vast te stellen wat hij nou precies zou willen bestuderen. Uiteindelijk werd in de jaren ’80 het Santa Fe Institute opgericht. Het zou zich gaan toespitsen op de complexiteit van figuren en functies. Op het gebied van fractals kwam men erachter dat fractals inderdaad in al deze gebieden te vinden waren, maar alleen bij bepaalde specifieke objecten. Rond 2004 werden de fractals een beetje in een negatief licht geplaatst vanwege de grote populariteit. Toch ontstond steeds meer belangstelling voor fractals. Het gebruik van computerssystemen was hierbij erg belangrijk. Zij boden een nieuw inzicht in de wiskunde van de fractals en gaven de mogelijkheid functies te maken zonder regelmaat. Ook konden computers heel snel en gemakkelijk inzoomen op een deel van een figuur en voerden ze snel berekeningen uit. Tegenwoordig worden fractals voornamelijk gebruikt bij het maken van computertekeningen (of: computer graphics) en bij het maken van nieuwe (gebruiks)voorwerpen.
Toepassingen in de natuur
Ademhalingsstelsel
De ideeën die de mens kreeg om de fractals in de techniek toe te passen komen vaak uit de natuur. Het ademhalingsstelsel van mensen en dieren is daarvan een goed voorbeeld. Ook heeft men gekeken naar de CO2-opname en O2-afgifte van planten en bomen. De structuur van het ademhalingsstelsel van plant, dier en mens, is in de vorm van een fractal. Dit is zo gemaakt (of voor evolutionisten: ontstaan) zodat moleculen zich gelijkmatig kunnen verdelen en ook gelijkmatig worden opgenomen door het bloed, de bladeren of de wortels. Een heel goed voorbeeld zijn onze longen. De lucht die in de longen komt, wordt aangevoerd door de luchtpijp. Deze luchtpijp vertakt zich naar twee longen. In deze longen vertakt hij zich nogmaals, en nogmaals. Dit blijft zo doorgaan. We herkennen hierin de herhalingsstructuur van een fractal. De fractalvorm in het menselijk lichaam, in planten en in dieren heeft nog een voordeel, namelijk: de opschaalbaarheid is groot. Dit betekent dat deze vorm het mogelijk maakt om in een korte tijd grote hoeveelheden stoffen te produceren. Als we dit na kunnen bootsen in de techniek zou dat erg efficiënt en kostenbesparend zijn.
Bomen en bladeren
Een heel simpel voorbeeld van een fractal in de natuur is een boomblad. Deze lijkt een ingewikkelde structuur te hebben, maar deze structuur is gemakkelijk te beschrijven met fractals. Ook als we de hele boom bekijken is er een fractal te herkennen. De stam is noemen we de 0e generatie. De takken zijn dan de 1e generatie, deze vertakken zich weer in de 2e en 3e generatie. De bladeren zijn dan de 4e generatie. Die bladeren hebben ook weer vertakkingen, een heel bekend en goed voorbeeld zijn de dennentakken. De wortels van een boom zijn ook weer te beschrijven aan de hand van de een fractalvorm. Dit gaat hetzelfde als de takken.
Van berg tot zeebodem
We hebben in de natuur veel verschillende fractalvormen. In de bergen komen ze ook voor. Als je tegen een berggebied aankijkt, lijken de vormen onverklaarbaar en complex. Men denkt dat de meeste bergen miljoenen jaren oud zijn. Nu probeert men de structuur te verklaren. Dit onderzoek is nog steeds aan de gang. Er is nog geen model gevonden die structuur van alle bergen beschrijft.
De hoge bergen zouden fractalvormen zijn, maar de diepe zeebodem ook. Ook hier is de structuur erg ingewikkeld en is er nog geen allesomvattend model gemaakt.
We bekeken nu de fractal vormen op het hoogste en op het laagste niveau. Daartussen vinden we het land. Ook in de vormen van landen en eilanden zijn fractalvormen te vinden, namelijk de kustlijnen. We zullen de kust van Noorwegen als voorbeeld noemen. Het is maar één van de vele kusten met de ingewikkelde structuur van een fractal. Ook hiervoor is nog geen model gemaakt.
We zien dat deze fractalvormen onregelmatig zijn. Dat is waarschijnlijk ook de reden dat het zo moeilijk is om een model, een formule of een goede beschrijving te geven. Deze vormen kunnen we dus goed plaatsen onder het begrip ‘chaos’.
Schelpdieren
Veel schelpdieren hebben ook een soort fractalstructuur in hun schelp zitten. Een slak is een goed voorbeeld. Ook de zeedieren heremietkreeft en mossel zijn voorbeelden van dieren met een ‘fractalschelp’. De fractalvorm in de schelpen is vaak mooi om te zien. De combinatie met een mooie kleur en een mooie vorm, maakt dat de schelpen graag door mensen bewaard worden. Het nadeel hiervan is, dat er veel op bepaalde schelpdieren gevist wordt. Het zou natuurlijk jammer zijn als deze mooie fractals uit de natuur zouden verdwijnen.
Vlinders
Een schelp is natuurlijk een heel duidelijk en gemakkelijk voorbeeld met fractalstructuur. Een ander voorbeeld is de vlinder. De fractalstructuur is heel goed te herkennen bij een vlinder. Wel is bij elke vlindersoort de structuur weer anders. Bij een vlinder is de fractalvorm symmetrisch. Dit betekent dat de linkervleugel en de rechtervleugel altijd dezelfde vorm en kleur hebben. Dit is te vergelijken met de longstructuur. Deze heeft in de linkerlong vrijwel dezelfde vertakking als in de rechterlong.
Design
In de moderne architectuur en in de mode komen we nogal eens rare vormen tegen. Fractals kunnen ook hier gebruikt worden. Een gebouw wordt bijvoorbeeld ontworpen en getekend door de architect door te kijken naar fractals. Deze gebouwen zijn meestal 1e of 2e generatie fractals, omdat een latere generatie wel te fantaseren valt, maar vaak niet meer in werkelijkheid gebouwd kan worden. In de mode komen we fractals op verschillende manieren tegen. De vormen op een bepaald kledingstuk kunnen fractals zijn of van fractals afgeleid zijn. Sierraden zijn vaak fractals van een 1e of 2e generatie. Bepaalde bewerkingen worden een aantal keren herhaald.
Verwarming
Het meest simpele voorbeeld is de verwarming die zich in huis hebben. Dit is een 1e generatie fractal.
Katalysator
Een heel bekend voorbeeld van een fractal in de techniek is de katalysator in de uitlaat van een auto. Deze is poreus en heeft een fractalachtig oppervlak. Dit heeft als functie het oppervlak zo te vergroten in dezelfde ruimte dat per tijdseenheid meer schadelijke stoffen kunnen worden omgezet in niet schadelijke stoffen. De katalysatoren zijn door hun fractalachtig oppervlak vaak erg ruw. Als de katalysator geen fractal oppervlak had, dan zou deze ongeveer de hele lengte van de auto zijn.
Simulators
Een andere technische toepassing vinden we terug in simulators, bijvoorbeeld een vluchtsimulator. Deze heeft een recursietechniek die gebaseerd is op herhaling. Een hoeveelheid getallen wordt steeds herhaald met dezelfde hoeveelheid die erbij komt. Het principe is dus niet gebaseerd op een fractalfiguur, maar op een aantal fractalkenmerken. Doordat fractals herhaalbaar zijn worden ze gebruikt om virtuele landschappen te creëren in de simulator. Deze zijn toe te passen tijdens een ‘’vliegles’’. Zo kan men op ‘’grote hoogte’’ nog steeds een realistisch beeld hebben van wat er beneden is.
De vluchtsimulator is niet de enige simulator die gebruik maakt van deze techniek. Ook managers, auto-instructeurs en zelfs leraren werken met simulaties gebaseerd op fractalkenmerken.
Computers en computerprogramma’s
Een andere toepassing van fractals in de techniek is de fractale beeldcodering. Deze toepassing wordt voornamelijk gebruikt bij het projecteren van afbeeldingen op een computerscherm. De beelden kunnen heel realistisch overkomen. Wanneer er heel erg ingezoomd wordt, wordt zichtbaar dat de afbeelding eigenlijk uit allerlei gekleurde blokjes bestaat, de zogenaamde pixels. Zo kunnen programmeurs en grafisch ontwerpers zelf ook beelden maken. Deze zijn opgebouwd uit herhaalde basispatronen.
Het bestuderen en ontwikkelen van fractals gebeurt meestal met de computer. Er zijn verschillende programma’s voor. Voorbeelden zijn Winfract, Fractalmapper en Genuine Fractals. In computergames worden ook veel fractaltechnieken toegepast. In de achtergronden van deze virtuele werelden worden fractaltechnieken gebruikt. Als dit niet gedaan zou worden, zouden deze achtergronden er onrealistisch uitzien. In veel computergames worden ook fractalvormen gebruikt. Om een boom in 3D te modeleren zou een programmeur of grafisch ontwerper een aantal uren bezig zijn. Wanneer diezelfde boom uit vaste herhalingen is opgebouwd, is de modeleeropdracht met een kwartier klaar. Net zoals we in de natuur de vertakkingen van vertakkingen tegenkomen, modelleert de programmeur een boom die zijn eigen vertakkingen van vertakkingen maakt. Wanneer hij dan het juiste aantal generaties aangeeft, kan de gebruiker van de virtuele wereld de boom herkennen.
Speciale effecten in films
Onder het vorige kopje werden de achtergronden van virtuele werelden beschreven. Dezelfde modelleertechniek als bij deze werelden worden ook gebruikt bij de speciale effecten in films. De pixels worden dan één voor één van kleur veranderd, waardoor de kijker een ander beeld ziet dan het oorspronkelijk gefilmde beeld. Een aantal voorbeelden:
‘Pirates of the Carribean’ De skeletfiguren en details van de schepen zijn met beeldcodering gemaakt.
‘The Chronicles of Narnia’ De pratende dieren zijn gedeeltelijk met beeldcodering gemaakt. Ook de samenstelling van mens en dier, zoals een faun, wordt met beeldcodering gemaakt. Er zit ook een groot nadeel aan het gebruik van deze techniek. Ten eerste kost het heel veel capaciteit en zijn er dus snelle en grote computers nodig. Ten tweede kost het tijd om maar slechts een klein aantal pixels goed van kleur te veranderen.
TV
Dezelfde techniek (fractale beeldcodering) wordt ook gebruikt bij TV-schermen. Dit is bij zowel de oude beeldbuis als de moderne plasma TV’s van toepassing
Ultrasoontechniek
Fractals komen ook voor in de ultrasoontechniek van treinen. Hiermee kan bijvoorbeeld de conditie van een spoorlijn worden bepaald. Door fractals te gebruiken ontstaat een nauwkeuriger beeld van grafieken die aangeven of een stuk spoor moet worden vervangen of niet. Ook de conditie van rollend materieel (dus de verschillende passagiers- en goederentreinen) kan hiermee worden vastgesteld.
Fractals en techniek in de toekomst
Er is tegenwoordig veel onderzoek naar nieuwe technieken waarbij fractals gebruikt kunnen worden. Omdat fractals nog niet zo lang bekend zijn is er nog maar weinig informatie over ze beschikbaar en weten we nog lang niet alle technische mogelijkheden van deze nieuwe wiskunde. Zo probeert men om fractals niet alleen in de techniek toe te passen, maar ook op andere gebieden. In de vorige deelvraag is als voorbeeld de financiële markt genoemd. Ook op het gebied van management en technische bedrijfskunde denkt men fractals te kunnen toepassen. De ideeën zijn nog in de eerste fase. Dit betekent dat men eigenlijk alleen nog maar een idee heeft dat de fractals toegepast kunnen worden. Hoe dit gebeuren moet is nog vrijwel onbekend. Daarom is het ook niet in te schatten hoe lang het nog gaat duren voordat de fractals succesvol gebruikt worden op deze nieuwe gebieden.
De grote toekomst van de fractals zal waarschijnlijk toch blijven liggen in de computertechniek en de ontwikkeling daarvan.
Fractals en wetenschap
De wetenschappelijke kennis over fractals en hun toepassingen De fractal als ‘Dinge an Sich’ is nu wel behoorlijk uitgeanalyseerd. Men weet wat fractals zijn en wat hun algemene wiskundige eigenschappen zijn. Toch blijkt dat bij elke keer als er een fractal ontworpen wordt, deze opnieuw geanalyseerd moet worden. Elke fractal heeft weer andere kenmerken en andere figuurlijke eigenschappen. Met de wiskunde kennis die men nu heeft kan elke fractal geanalyseerd worden. Wat echter nog wel in volle gang is, zijn de ontwikkelingen van de toepassingen. Als er dingen op fractalgebied onderzocht en uitgevonden worden, zijn dat wel toepassingen of mogelijke toepassingen. Een voorbeeld van een recente ontdekking is de multifractal. Deze komt uit het vakgebied ‘Dynamische Systemen’. Een dynamisch systeem is een tijdsvariabel systeem met ‘geheugen’: het gedrag van het systeem is volledig bepaald door de inhoud van dat geheugen en door de acties die de omgeving op het systeem uitoefent. Een voorbeeld van een dynamisch systeem is een dynamisch parkeerverwijssysteem. Dit is een systeem dat in een grote stad vaak gebruikt wordt. Elektronische borden geven aan op welke plekken nog parkeerruimte is en vaak geven de systemen ook aan hoe de automobilist naar deze plekken kan rijden.
In samenhang hiermee is het aantal getallen waarmee je fractals kunt karakteriseren flink gegroeid. Er zijn heel wat verschillende soorten dimensie-begrippen. Bijvoorbeeld ook dimensies die lokaal op de fractal kunnen verschillen. Er is zelfs een heel continu spectrum van dimensies mogelijk. Dit is ontdekt door de Hongaarse wiskundige Alfréd Rényi. Een continu spectrum van lichtkleuren betekent dat alle zichtbare golflengten in de lichtstraling aanwezig zijn. Een continu spectrum van dimensies betekent dat alle mogelijke dimensies (tussen 2 randwaarden) aanwezig zijn op de fractal.
